Qual seria o escore-z para uma mulher com altura média (160 cm)?

Para calcular esse escore-z, basta substituirmos o valor de x por 160:

\[ z = \frac{x - 160\,\text{cm}}{10\,\text{cm}} \]

\[ z = \frac{160\,\text{cm} - 160\,\text{cm}}{10\,\text{cm}} \]

Perceba que:

• Isso resulta em um numerador igual a zero (160 – 160 = 0)
• Ficamos com uma fração que divide cm por cm – essas unidades de medida se cancelam e o resultado, portanto, passa a ser adimensional, sem unidade de medida

\[ \require{cancel} z = \frac{0\,\text{cm}}{10\,\text{cm}} = \frac{0\,\cancel{\text{cm}}}{10\,\cancel{\text{cm}}} = 0 \]

Logo, uma mulher com altura igual à média da amostra terá um escore-z igual a zero.

Qual seria o escore-z para uma mulher com altura um desvio-padrão acima da média?

Uma mulher cuja altura esteja um desvio-padrão acima da média dessa amostra terá uma altura de 170 cm (160 cm + 10 cm). Para calcular o escore-z para ela, substituímos o x por 170:

\[ z = \frac{x - 160}{10} = \frac{170 - 160}{10} \]

\[ z = \frac{10}{10} = 1 \]

Portanto, uma mulher com altura 1 desvio-padrão acima da média da amostra terá escore-z igual a 1.

E qual seria o escore-z para uma mulher com altura um desvio-padrão abaixo da média?

Uma mulher cuja altura esteja um desvio-padrão abaixo da média dessa amostra terá uma altura de 150 cm (160 cm - 10 cm). Para calcular o escore-z para ela, substituímos o x por 150:

\[ z = \frac{x - 160}{10} = \frac{150 - 160}{10} \]

\[ z = \frac{-10}{10} = -1 \]

Portanto, uma mulher com altura 1 desvio-padrão abaixo da média da amostra terá escore-z igual a -1.

Um guia de como interpretar o escore-z

Note que:

• As alturas iguais à média têm z = 0
• As alturas um desvio-padrão acima da média têm z = 1
• As alturas um desvio-padrão abaixo da média têm z = -1

Isso é o mesmo que dizer que a variável padronizada pelo escore-z tem média igual a zero e desvio-padrão igual a 1. Também significa que qualquer escore-z indica quantos desvios-padrão um valor está acima ou abaixo da média da distribuição.

Vamos voltar ao primeiro escore-z que calculamos: o para uma mulher com altura igual a 182 cm. Vimos que esse valor corresponde a um escore-z de 2,2. Portanto, a nossa interpretação será: a altura dessa mulher está 2,2 desvios-padrão acima da média. Perceba que concluímos que está acima porque o valor de z foi positivo.

Por outro lado, suponha que calculamos o escore-z para uma outra mulher e obtivemos um valor de z = -1,5. A conclusão agora será de que essa mulher apresenta uma altura que é 1,5 desvios-padrão abaixo da média.

Ok, mas o que isso tudo tem a ver com o escore-z?

Perceba que o escore-z é uma forma de representar os valores em desvios-padrão. Portanto, se uma variável – como a altura de mulheres – apresentar distribuição normal, isso significará que:

• 68,3% das mulheres terão escores-z entre -1 e 1
• 95% das mulheres vão apresentar escores-z entre -1,96 e 1,96
• 99,7% das mulheres terão escores-z entre -3 e 3

A figura abaixo mostra essa relação para o escore-z 1,96:

Podemos ainda pensar que apenas 5% da amostra apresenta valores fora da faixa [-1,96; 1,96]. Como a curva normal é simétrica, sabemos que:

• 2,5% dos dados estarão acima de 1,96
• 2,5% dos dados estarão abaixo de -1,96

Ou seja: o escore-z nos ajuda a identificar o quão frequente ou rara é uma determinada altura. Vamos retormar o exemplo da mulher com 182 cm de altura, supondo que essas alturas seguem a distribuição normal. Vimos que o escore-z para ela é de 2,2. Como esse valor está acima de 1,96, sabemos que essa mulher está entre as 2,5% mais altas da amostra.

Se quisermos ser ainda mais precisos, podemos calcular a probabilidade (área sob a curva) associada a esse escore-z:

Isso significa que apenas 1,4% das mulheres da amostra apresentam alturas iguais ou superiores a 182 cm.

Como eu cheguei a esse número mágico de 1,4%?
A gente consegue obter esse valor a partir de tabelas para a distribuição normal padrão, como esta. Mas você também pode calculá-la usando a seguinte formula em R:

1-pnorm(q = 2.2)

Isso vai resultar em 0,0139 que multiplicando por 100 fica 1,39%, o que eu arredondei para 1,4%.

IMC em crianças e adolescentes

Sabia que os pontos de corte para classificar o IMC em crianças e adolescentes se baseia em escores-z? A tabela abaixo traz a classificação de acordo com a OMS:

O cálculo do escore-z para essa finalidade leva em consideração o sexo e a idade da criança. Além disso, o cálculo é um pouco diferente do escore-z usual, porque considera as características da distribuição do IMC para cada idade e sexo. A OMS utiliza o método LMS, que permite levar em consideração a assimetria da distribuição. Há algumas calculadoras que fazem esse cálculo, como essa. A interpretação do escore-z, no entanto, segue a mesma lógica: valores positivos indicam que o IMC está acima do centro da distribuição de referência para aquela idade e sexo, enquanto valores negativos indicam que está abaixo.

Avaliar a relação entre variáveis em escalas diferentes

Esses dias circulou pela internet este gráfico, que analisava a relação entre o preço de hambúrgueres vendidos na cidade de São Paulo e suas avaliações. O gráfico traz uma faixa diagonal que, de acordo com o autor, corresponde à “zona de equivalência de valor”, a região “onde o preço é coerente com o valor entregue”.

Mas, veja, criar uma faixa de equivalência não é uma tarefa simples. Por que? Porque o preço e a avaliação estão em unidades de medida diferentes: o primeiro em reais, o segundo em posição no ranking. Como lidar com esse dilema? Uma excelente alternativa é calcular o escore-z para as duas variáveis. Dessa forma, os valores para ambas passam a estar na escala de desvio-padrão. Eu discuto isso em detalhes nesse post.