População x amostra

Chamamos de população o conjunto de todos os sujeitos experimentais que interessam ao pesquisador. Vamos usar como exemplo uma pesquisa eleitoral para o cargo de governador do estado da Bahia. Nesse caso, a população será composta por todos os eleitores desse estado. No entanto, uma pesquisa que incluísse todos os eleitores seria extremamente cara e demorada. A alternativa, portanto, é incluir na pesquisa eleitoral apenas uma parcela dos eleitores do estado da Bahia (ou seja, uma parcela da nossa população). Essa parcela corresponde à amostra.
Chamamos de amostra o subconjunto da população de que fato é estudado. A partir dos resultados obtidos em uma amostra, podemos chegar a conclusões sobre a população. Isso é chamado de inferência estatística. O processo de seleção da amostra a partir da população recebe o nome de amostragem.

As informações extraídas da população – como média, desvio-padrão, proporções – são chamadas de parâmetros e são, em sua maioria, representadas por letras gregas. Já as informações provenientes de uma amostra recebem o nome de estatísticas, e são representadas por letras do nosso alfabeto, o romano.

A relação entre o erro estatístico e o intervalo de confiança

É importante entender que sempre que usamos amostras, estamos trabalhando com uma chance de erro. Esse erro é chamado de erro estatístico. Voltando ao exemplo da pesquisa eleitoral, imagine que uma determinada candidata tem 34% das intenções de votos na amostra que estudamos. É improvável que, ao perguntarmos a intenção de votos a toda a população, obtenhamos exatamente essa mesma porcentagem. Essa divergência entre as proporções será observada mesmo quando a amostra for selecionada adequadamente – sem erros ou má intenção. A vantagem é que, usando a estatística, conseguimos estimar esse erro quando estamos usando amostras aleatórias.

Uma forma de estimação que considera esse erro é o intervalo de confiança. No caso da pesquisa eleitoral, por exemplo, poderíamos, a partir da intenção de votos obtida na amostra, calcular um intervalo dentro do qual é provável que a intenção de votos da população se encontre.
Estamos aqui usando um exemplo com proporção, mas o intervalo de confiança pode ser usado para estimar qualquer parâmetro de uma população a partir das estatísticas de uma amostra. Podemos calcular intervalos de confiança para médias, para tamanhos de efeito – como a razão de chances, o coeficiente de correlação –, entre muitas outras possibilidades.

Nível de confiança

O intervalo de confiança está sempre associado a um nível de confiança, pré-estabelecido. Esse nível de confiança é sempre complementar ao nível de significância (α). Ou seja, quando usamos um α de 5%, utilizamos um intervalo de confiança (IC) 95% (100% - 5%). Podemos também usar outros níveis de confiança, como 90% (quando usamos \(\alpha\) = 10%) ou 99% (quando usamos \(\alpha\) = 1%).

A interpretação correta do intervalo de confiança

Como interpretar esse intervalo? Vamos imaginar uma situação em que intenção de votos para um determinado candidato a governador, na população, é de 35,5%. Mas, nós não temos acesso a toda a população. Portanto, selecionamos uma amostra de 2000 eleitores e analisamos a intenção de votos deles, chegando a uma proporção de 34%.
Sabendo que temos a limitação de estar trabalhando com uma amostra, calculamos um intervalo de confiança para essa intenção de votos. Com isso, definiremos um intervalo dentro do qual é provável que a intenção de votos da população se encontre. Esse intervalo dependerá da porcentagem obtida e do tamanho da amostra.
Vamos imaginar que calculamos o IC e obtivemos:

Como calcular um intervalo de confiança para proporções? Se a matemática por trás não te interessa, fique à vontade para pular essa caixa – isso não vai atrapalhar o seu entendimento do conceito.
Para calcularmos um intervalo de confiança para proporções, usamos a fórmula: \[IC(1-\alpha) = \hat{p} \pm z_{\alpha/2} \times \sqrt\frac{\hat{p} \times (1-\hat{p})}{n}\] Na qual \(\hat{p}\) corresponde à proporção observada na amostra, n corresponde ao tamanho da amostra e z corresponde ao valor de z para determinado valor de nível de significância (\(\alpha\)). O valor de z pode ser encontrado em tabelas, ou obtido em programas como R ou Excel.
Para um nível de significância de 5% (portanto, para calcularmos um intervalo de confiança 95%), z equivale a 1,96.
No R, z pode ser obtido usando a função qnorm, a qual deve receber como argumento: 1 – \(\alpha\)/2.

Como interpretar esse intervalo?
É comum as pessoas pensarem que há uma probabilidade de 95% da intenção de voto populacional estar contida nesse intervalo. Essa interpretação está errada.
O intervalo de confiança, na verdade, se refere a um cenário hipotético em que tivéssemos coletado várias amostras dessa mesma população.
Vamos imaginar que:

• Coletamos 1000 amostras de 2000 pessoas dessa população;
• Obtivemos a intenção de votos de cada amostra;
• Calculamos para cada uma delas um intervalo de confiança 95%.

Dos 1000 intervalos de confiança calculados, espera-se que 95% deles (no caso, 950 intervalos) contenham a intenção de votos da população, 35,5%.

Vejamos isso em um gráfico:

Os círculos representam a intenção de votos e as linhas horizontais representam o intervalo de confiança (IC) 95% de cada uma das amostras coletadas. Observe que, das 25 amostras coletadas, 95% delas, ou seja, 24 (em azul), incluem o parâmetro populacional (linha pontilhada, 35,5%) no seu intervalo de confiança. Já uma amostra (em rosa) não inclui.
Fizemos um gráfico com apenas 25 amostras para facilitar a visualização. Mas, se o gráfico incluísse 1000 amostras, esperaríamos a mesma proporção: das 1000 amostras, seria esperado que 50 delas não incluíssem a intenção de votos populacional no seu IC 95%. Uma limitação é que quando coletamos uma amostra, não temos como saber se ela é uma das 95% das amostras que contém o parâmetro populacional no seu IC ou não.

A margem de erro

É provável que você já tenha ouvido falar em margem de erro. A margem de erro é um conceito intimamente associado ao intervalo de confiança. A margem de erro corresponde à metade da amplitude do intervalo de confiança.
No exemplo anterior, temos uma margem de erro de 2%. Isso significa que o intervalo de confiança se estende em 2% para mais e para menos, a partir do valor amostral - no caso, os 34% de intenção de votos obtidos na amostra.
Observe que no exemplo, temos os seguintes limites para o intervalo de confiança:

A relação entre a margem de erro e o tamanho da amostra

A forma de calcular o intervalo de confiança/ margem de erro depende de qual o parâmetro que pretendemos estimar: se é uma média, uma proporção, uma razão de chances, etc. Mas, todos esses cálculos têm em comum levarem em consideração o tamanho da amostra e o nível de confiança.
Quanto maior o tamanho da amostra, menor será a margem de erro. Ou ainda podemos pensar: quanto maior for a amostra, mais estreito será o intervalo de confiança.
É importante também entender que essa relação não é linear. Observe as simulações abaixo, realizadas com base na fórmula que vimos acima. Os cálculos da tabela abaixo consideram uma proporção de 50% e um nível de significância de 5%:

Para esse cálculo, usamos a fórmula que já vimos acima:
\[IC(1-\alpha) = \hat{p} \pm z_{\alpha/2} \times \sqrt\frac{\hat{p} \times (1-\hat{p})}{n}\]
A seguinte porção da fórmula corresponde ao erro:
\[Erro = z_{\alpha/2} \times \sqrt\frac{\hat{p} \times (1-\hat{p})}{n}\]
Elevando os dois lados ao quadrado, teremos:
\[{Erro}^2 = {(z_{\alpha/2})}^2 \times \frac{\hat{p} \times (1-\hat{p})}{n}\]
Isolando o n, temos: \[n = {(z_{\alpha/2})}^2 \times \frac{\hat{p} \times (1-\hat{p})}{{Erro}^2}\]

O que é menos intuitivo é que o tamanho da amostra não depende do tamanho da população. Observe que esse parâmetro não está incluído na fórmula.

A relação entre a margem de erro e o nível de confiança

Outro fator que influencia a margem de erro é o nível de confiança. Quanto maior for o nível de confiança, mais amplo será o intervalo de confiança. Ou ainda: maior será a margem de erro.
Observe as simulações abaixo, as quais consideraram uma proporção na população de 50% e mantêm constante um tamanho de amostra de 1000 sujeitos:

Para isso fazer mais sentido, observe o gráfico abaixo, que já discutimos nesse post. Nesse gráfico, 95% das amostras contêm o parâmetro populacional no seu IC. Se quiséssemos que 99% das amostras o contivessem, precisaríamos ampliar o intervalo – em outras palavras, precisaríamos aumentar a margem de erro.