Valores previstos

Um conceito bem importante para pensarmos em gráficos diagnósticos é o conceito de valores previstos pelo modelo de regressão linear. Os valores previstos podem ser chamados também de valores ajustados. Em inglês, os termos utilizados são: predicted values ou fitted values.

Para o valor previsto fazer mais sentido, vamos partir para um exemplo. Temos uma base de dados com as seguintes informações sobre crianças e adolescentes (idades entre 11 e 18 anos):

• fev: Volume expiratório forçado, em litros. Uma medida da capacidade pulmonar.
• idade: Idade das crianças e adolescentes, em anos.
• altura: Altura das crianças e adolescentes, em centímetros.

Queremos avaliar se a idade e a altura dos jovens prevê a sua capacidade pulmonar. Para isso, vamos criar um modelo de regressão linear com fev como variável dependente e idade e altura como variáveis independentes.

dados <- read.csv2("FEV_80.csv")

mod <- lm(fev ~ altura + idade, data = dados)

summary(mod)

## 
## Call:
## lm(formula = fev ~ altura + idade, data = dados)
## 
## Residuals:
##      Min       1Q   Median       3Q      Max 
## -1.25713 -0.29577  0.03588  0.32060  1.86773 
## 
## Coefficients:
##              Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept) -6.289925   1.224535  -5.137 2.05e-06 ***
## altura       0.053328   0.007675   6.948 1.04e-09 ***
## idade        0.058849   0.034127   1.724   0.0886 .  
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 0.5159 on 77 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.4465,	Adjusted R-squared:  0.4321 
## F-statistic: 31.06 on 2 and 77 DF,  p-value: 1.289e-10

O resultado nos indica um intercepto de -6,29 e coeficientes para altura e idade de 0,053 e 0,059, respectivamente. O modelo, portanto, resulta na seguinte equação para prever o fev:

Portanto, se estamos falando de uma criança de 11 anos e 165 cm de altura, temos:

Isso significa que para essa criança o modelo está prevendo um fev de 3,104 litros.

Veja os valores previstos para outros jovens da base:

Resíduos

Mas toda criança de 11 anos e 165 cm de altura terá esse mesmo valor de fev? Não, é claro. Haverá diferenças entre o valor observado e o valor que o modelo está prevendo. Essas diferenças recebem o nome de resíduos.

Os resíduos são a diferença entre o valor observado (o valor real, que consta na base) e o valor previsto pelo modelo de regressão.

Veja os valores previstos e os resíduos para alguns jovens da base:

Resíduos padronizados

O resíduo está na mesma unidade de medida da variável dependente. No nosso caso, como fev está em litros, o resíduo está em litros.

É comum também calcularmos os resíduos padronizados (em inglês, standardized residuals). Esses resíduos são padronizados para terem média zero e desvio-padrão igual a 1.

Distância de Cook

A distância de Cook é uma medida que avalia o quanto uma determinada observação influencia o modelo de regressão. Por isso, ela é uma ferramenta que nos ajuda a identificar pontos influentes.

Há vários pontos de corte sugeridos para a distância de Cook, mas uma regra bem usada (e implementada em um dos gráficos diagnósticos do R) é: pontos com distância de Cook acima de 1 são influentes; pontos com distância de Cook acima de 0,5 já devem ser avaliados com atenção.

Mas, há outras sugestões de ponto de corte. Um dos pontos de corte sugeridos é 4/n. Ou seja, em um modelo com 80 observações, teremos:

Isso significa que observações com distância de Cook acima de 0,05 já seriam observações potencialmente influentes.

Gráfico 1. Avaliação da linearidade

O primeiro gráfico mostra a relação entre os resíduos (eixo y) e os valores previstos (eixo x). Ele também traz uma linha de tendência em vermelho e uma linha horizontal pontilhada em zero.

Caso a gente queira acessar apenas esse gráfico, podemos usar a função plot com o argumento which = 1:

plot(mod, which = 1)

Esse gráfico nos permite avaliar o pressuposto de linearidade. Caso esse pressuposto seja atendido, os pontos devem apresentar uma linha de tendência (em vermelho) aproximadamente horizontal.

O gráfico à esquerda da figura abaixo mostra um modelo com o pressuposto de linearidade atendido. Já o gráfico da direita, mostra um modelo que não atendeu a esse pressuposto. Veja como a linha de tendência do gráfico à direita forma uma parábola – ou seja, não é horizontal.

Gráfico 2. Avaliação da normalidade

O segundo gráfico é um Q-Q plot: mostra a relação entre os resíduos padronizados (eixo y) e os quantis teóricos (eixo x). Esses quantis correspondem aos valores que seriam esperados caso os resíduos seguissem a distribuição normal. Ele também traz uma linha de referência (pontilhada) na diagonal.

Caso a gente queira acessar apenas esse gráfico, podemos usar a função plot com o argumento which = 2:

plot(mod, which = 2)

Esse gráfico nos permite avaliar o pressuposto de normalidade dos resíduos. Caso esse pressuposto seja atendido, os pontos devem estar sobrepostos à linha diagonal – ou, pelo menos, bem próximos a ela.

O gráfico à esquerda da figura abaixo mostra um modelo com o pressuposto de normalidade atendido – veja que os pontos estão próximos à linha diagonal. Já o gráfico da direita, mostra um modelo que não atendeu a esse pressuposto: note como os pontos se distanciam bastante dessa linha, principalmente em quantis baixos e altos (esquerda e direita do gráfico).

E como você já deve ter percebido: sim, essa é uma avaliação bem subjetiva. Faz parte.

Gráfico 3. Homocedasticidade

A homocedasticidade pode ser avaliada pelo gráfico 1, que discutimos anteriormente. Ao avaliarmos o gráfico 1, consideramos que os dados apresentam homocedasticidade quando o padrão de distribuição dos pontos é retangular. Caso esse padrão seja triangular, ou em formato de gravata, temos dados heterocedásticos (= não-homocedásticos). Perceba como os pontos do gráfico à direita seguem um padrão triangular, mas os da esquerda, não:

Mas o gráfico 3 é ainda melhor para avaliarmos homocedasticidade. Esse gráfico mostra a relação entre a raiz quadrada do valor absoluto dos resíduos padronizados (eixo y) e os valores previstos (eixo x). Caso a gente queira acessar apenas esse gráfico, podemos usar a função plot com o argumento which = 3:

plot(mod, which = 3)

Como esse gráfico mostra a raiz quadrada dos resíduos em módulo, ele traz apenas resíduos positivos. Isso nos ajuda a enxergar o padrão de distribuição desses resíduos. Caso a variação seja constante ao longo dos valores previstos, a linha de tendência desse gráfico será aproximadamente horizontal. Modelos heterocedásticos terão gráficos com linhas de tendência inclinadas.

O gráfico à esquerda da figura abaixo mostra um modelo com o pressuposto de homocedasticidade atendido – veja que a linha de tendência é aproximadamente horizontal. Já o gráfico da direita, mostra um modelo que não atendeu a esse pressuposto: note como a linha de tendência está inclinada, ela sobe ao longo do gráfico.

Gráfico 4. Pontos influentes

O quarto gráfico mostra a relação entre os resíduos padronizados (eixo y) e a alavancagem (eixo x). A alavancagem reflete o quanto um ponto se distancia dos demais em relação aos valores das variáveis independentes. Esse gráfico também traz linha pontilhadas que indicam as distâncias de Cook 0,5 e 1 (por padrão).

Caso a gente queira acessar apenas esse gráfico, podemos usar a função plot com o argumento which = 5:

plot(mod, which = 5)

Se quisermos alterar os valores de distância de Cook representados no gráfico, podemos adicionar o argumento cook.levels. No exemplo, pedi para que fossem plotados os valores 0,05 e 0,5.

plot(mod, which = 5, cook.levels = c(0.05, 0.5))

Esse gráfico nos permite avaliar o pressuposto de ausência de pontos influentes. Caso esse pressuposto seja atendido, os pontos não devem ultrapassar a linha pontilhada. O gráfico à esquerda da figura abaixo mostra um modelo com o pressuposto de ausência de pontos influentes atendido. Já o gráfico da direita, mostra um modelo que não atendeu a esse pressuposto: note como há um ponto (a 80ª pessoa da base) que tem distância de Cook superior a 1.