Há associação entre ter sobrevivido ao desastre do Titanic e a classe da passagem?

Essa é a pergunta que iremos responder com a nossa análise.

Vamos começar fazendo o teste qui-quadrado.
(Se quiser se aprofundar em como fazer um teste qui-quadrado no R, recomendo esse vídeo)

tabela <- table(Sobreviveu = dados$Sobreviveu,
                Classe = dados$Classe)

qui <- chisq.test(tabela)
qui

## 
##  Pearson's Chi-squared test
## 
## data:  tabela
## X-squared = 101.22, df = 2, p-value < 2.2e-16

O teste qui-quadrado apresentou um p < 0,001. Logo, iremos rejeitar a hipótese nula do teste e consideraremos que há associação entre ter sobrevivido ao Titanic e a classe da passagem.

Para aprofundarmos essa análise, podemos avaliar os resíduos padronizados ajustados:

qui$stdres

##           Classe
## Sobreviveu         1         2         3
##        Não -8.472993 -2.731520  9.534392
##        Sim  8.472993  2.731520 -9.534392

Todos os resíduos estão fora do intervalo [-1,96; 1,96]. Logo, todas as células apresentam frequências observadas que diferem estatisticamente as esperadas.

Se quiser entender melhor essa questão dos resíduos, recomendo esse vídeo e o artigo de Sharpe (2015).

Observe também que os resíduos de “sim” para as classes 1 e 2 são positivos - indicando que foram observadas mais pessoas dessas classes na categoria “sim” do que seria esperado - e, para a classe 3, são negativos, indicando que sobreviveram menos pessoas dessa classe do que seria esperado.
Importante lembrar: esse “esperado” se refere à frequência esperada caso não houvesse associação entre as variáveis - no caso, caso classe e sobrevivência não estivessem associadas.

Agora vem a grande questão: como representar graficamente esses resultados?

Opção 1: gráficos de frequências

Uma boa opção, que eu sempre utilizei, é representar esses dados em gráficos de frequências.

Opção 2: gráfico das frequências observadas e esperadas

Procurando na internet uma solução para essa representação, eu encontrei o gráfico abaixo, no site do MiniTab.

Na verdade, trata-se de um gráfico para o teste qui-quadrado de aderência. Mas, eu pensei que daria para adaptar para o de independência.
Seguindo essa proposta, cheguei ao gráfico abaixo. Vou compartilhar o script completo ao final do post, mas, transformei esse script em uma função, que está no meu pacote fstat, para facilitar o uso.
Ah, todos os scripts deste post estão na linguagem R e todos os gráficos foram construídos usando o pacote ggplot2.

O primeiro passo será instalar e carregar o pacote:

devtools::install_github("fernandaperes/fstat")
library(fstat)

Então, vamos criar o gráfico. Veja que eu usei a função e acrescentei uma legenda para explicar os asteriscos e qual teste havia sido feito.
A função inclui a colocação de asteriscos quando os resíduos padronizados estão fora do intervalo [-1,96; 1,96]. Se não quiser os asteriscos, inclua como argumento asterisco = FALSE.

fstat::graf_obs_esp_ind(dados, Classe, Sobreviveu, cat_graf_v2 = "Sim",
                        cor = "cadetblue", xlab = "Classe da passagem") +
  labs(caption = "Frequências observadas e esperadas para aqueles que sobreviveram\nao desastre do Titanic, de acordo com a classe da passagem.\n* para frequências observadas que diferem estatisticamente\ndas esperadas. Teste qui-quadrado de independência.")

O problema desse gráfico é que ele só permite a visualização de uma das categorias da variável. Nesse caso, escolhi a categoria “sim” para a variável Sobreviveu, e expliquei isso na legenda.
Para a variável Sobreviveu, essa é uma alternativa válida. Isso porque, como essa variável tem apenas duas categorias, os resíduos da categoria “não” serão numericamente iguais aos da categoria “sim”, mas com sinal oposto.

Observe que visualizando o gráfico conseguimos perceber que:

• Para as classes 1 e 2, sobreviveram mais passageiros do que seria esperado;
  
• Para a classe 3, sobreviveram menos passageiros do que seria esperado.

Perceba que, para esse caso, não precisamos visualizar os dados referentes a “não sobreviveram” porque serão obrigatoriamente complementares ao “sobreviveram”.

Mas, e se tivermos mais de duas categorias nas duas variáveis? Como proceder?

Opção 3: gráfico das frequências observadas e esperadas para variáveis com mais de duas categorias

Pensando nessa possibilidade, criei uma outra versão, que usa o facet do ggplot2.

fstat::graf_obs_esp_ind_2(dados, Classe, Sobreviveu,
                          cor = "cadetblue",
                          xlab = "Classe da passagem /\n Sobreviveu ao desastre do Titanic") +
  labs(caption = "* para frequências observadas que diferem estatisticamente\ndas esperadas. Teste qui-quadrado de independência.")

Vantagem dessa versão: mostra todas as categorias, o que significa que funciona bem para variáveis com mais de duas categorias. Desvantagem: a depender da quantidade de categorias, pode ficar poluído.

Opção 4: gráfico das frequências observadas e esperadas, com barras vazadas

Segui procurando outras ideias, quando, em um fórum de R, me deparei com esse gráfico abaixo.

A ideia de representar as frequências esperadas como barras vazadas e as frequências observadas como barras preenchidas me pareceu uma ótima solução para representar variáveis com múltiplas categorias sem poluir a figura.

fstat::graf_obs_esp_ind_3(dados, Classe, Sobreviveu, cor = "cadetblue",
                          xlab = "Classe da passagem",
                          filllab = "Sobreviveu ao desastre do Titanic") +
  labs(caption = "As barras preenchidas correspondem às frequências\nobservadas e as barras vazadas, às frequências esperadas.\n* para frequências observadas que diferem estatisticamente\ndas esperadas. Teste qui-quadrado de independência.")

Eu gosto dessa solução para situações com múltiplas categorias. Mas, acho também que o gráfico, dessa forma, é menos intuitivo que os anteriores.

Essas foram as soluções que encontrei. Cada uma delas tem suas vantagens e desvantagens, mas tenho gostado de representar os resultados em forma de gráfico.

O script completo

Para finalizar, como prometido, segue o script completo para gerar aquele primeiro gráfico. Os demais são resultado de pequenas modificações nele. Você também tem acesso ao script dessas funções pelo repositório do pacote no meu GitHub.

library(reshape2)
library(ggplot2)
library(dplyr)

tabela <- table(dados$Classe, dados$Sobreviveu)

quiqua <- chisq.test(tabela)

esp <- as.data.frame(melt(cbind(quiqua$expected)))
esp$v <- "Esperado"
obs <- as.data.frame(melt(cbind(quiqua$observed)))
obs$v <- "Observado"
banco_graf <- rbind(esp, obs)
colnames(banco_graf) <- c("Classe", "Sobreviveu", "Valor", "Resultado")

asteriscos <- as.data.frame(quiqua$stdres) %>%
    mutate(sinal = case_when(between(Freq, -1.96, 1.96) ~ "",
                             TRUE ~ "*")) %>%
    filter(Var2 == "Sim")
asteriscos <- asteriscos$sinal
vazios <- rep("", length(asteriscos))
rotulos <- c(vazios, asteriscos)

banco_graf %>% filter(Sobreviveu == "Sim") %>%
    ggplot(aes(x = Classe, y = Valor, fill = Resultado)) +
    geom_bar(position = "dodge", stat = "identity") +
    geom_text(aes(y = Valor+2, label = rotulos),
              position = position_dodge(width = 0.9), size = 4.5) +
    labs(y = "Frequência (n)", x = "Classe da passagem", fill = NULL,
         caption = "Frequências observadas e esperadas para aqueles que sobreviveram\nao desastre do Titanic, de acordo com a classe da passagem.\n* para frequências observadas que diferem estatisticamente\ndas esperadas. Teste qui-quadrado de independência.") +
    scale_fill_manual(values = c("cadetblue", colorspace::lighten("cadetblue", 0.4))) +
    scale_y_continuous(expand = expansion(mult = c(0, 0.05))) +
    theme_classic() +
    theme(legend.position = "bottom")

Referências

• SHARPE, Donald. Chi-square test is statistically significant: Now what?. Practical Assessment, Research, and Evaluation, v. 20, n. 1, p. 8, 2015.